f(x) = x^4 + |x| के लिए,मान लीजिए I_1 = int_{ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = x^4 + |x|$। चूँकि $f(-x) = (-x)^4 + |-x| = x^4 + |x| = f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक सम फलन (even function) है।$I_1 = \int_{0}^{\pi} f

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(C) दिया गया है $f(x) = x^4 + |x|$। चूँकि $f(-x) = (-x)^4 + |-x| = x^4 + |x| = f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक सम फलन (even function) है।$I_1 = \int_{0}^{\pi} f(\cos x) dx$.गुणधर्म $\int_{0}^{a} g(x) dx = \int_{0}^{a} g(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I_1 = \int_{0}^{\pi} f(\cos(\pi - x)) dx = \int_{0}^{\pi} f(-\cos x) dx$.चूँकि $f(x)$ एक सम फलन है,$f(-\cos x) = f(\cos x)$ होगा।अतः,$I_1 = \int_{0}^{\pi} f(\cos x) dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$.अब,$I_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx$ लें। गुणधर्म $\int_{0}^{a} g(x) dx = \int_{0}^{a} g(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin(\frac{\pi}{2} - x)) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$.अतः,$I_1 = 2 I_2$,जिसका अर्थ है कि $\frac{I_1}{I_2} = 2$।

$f(x) = x^4 + |x|$ के लिए,मान लीजिए $I_1 = \int_{0}^{\pi} f(\cos x) dx$ और $I_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx$ है। तो $\frac{I_1}{I_2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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